Spectroscopie Ultrasonore par Résonnance (RUS)
La Spectroscopie Ultrasonore par Résonance est une méthode à la fois expérimentale et numérique qui a pour but de déterminer le tenseur élastique d'un échantillon. L'intérêt d'une telle méthode réside dans le fait qu'une seule expérience est nécéssaire pour estimer le tenseur élastique là où des méthodes plus classiques comme les essais de traction ou tortion sur éprouvette pemettent à chaque fois de déterminer quelques composantes de ce tenseur.
Cette méthode consiste donc à mesurer la réponse en fréquence d'un échantillon, d'en détecter les fréquences de résonnance du système, et de faire coincider ces valeurs avec un jeu de fréquence issu d'un calcul par éléments finis (en anglais FEM pour Finite Element Method). Cette méthode résoud donc un problème inverse où l'on cherche les coefficients mécaniques de l'échantillon en minimisant une fonction coût définie comme la somme des érreurs relatives élevées au carré, soit :
La méthode est syntétisée sur la figure suivante.
La méthode RUS a été inventée au début des années 1990. Les fréquences numériques étaient alors calculées par Rayleigh-Ritz, limitant l'étude à des géométries simples. Au regard des précédents travaux sur le sujet nous nous sommes donnés comme but de mettre en oeuvre cette méthode en utlisant la méthode des éléments finis (FEM) pour calculer le jeu de fréquences propres numériques pour des géométries complexes et avec des matériaux anisotropes.
Nos travaux ont porté sur la validation de la méthode RUS avec utilisation de la FEM et de l'algorithme de Levenberg-Marquart pour résoudre le problème de minimisation. L'intéret de cet alogorithme réside dans le fait qu'il combine deux algorithmes de minimisation bien connus : la méthode du gradient et l'algorithme de Gauss-Newton. Ces deux algorithmes sont combinés par un paramètre qui va faire en sorte que ce soit plutôt la méthode du gradient qui soit ultilisée dans les premières itérations (il suit la plus grande pente) puis que ce soit Gauss-Newton qui soit majoritaire. Ce dernier linéarise la fonction à minimiser et est donc beaucoup plus précis et rapide lors de petites variations de la fonction coût.
L'impémentation de cet algorithme est faite dans l'optimisation toolbox de Matlab. C'est pourquoi nous faisons en sorte de tout pouvoir piloter par matlab : aussi bien la génération du maillage par GMSH que le lancement de Code_Aster (pour le calcul éléments finis).
Un récapitulatif de la suite logicielle créée et de son articulation pour la mise en place de la méthode RUS est synthétisée sur la figure suivante :
Dans le but de valider notre chaine de calcul nous allons appliquer notre méthode pour un cylindre de cuivre : un matériau supposé isotrope et homogène. C'est aussi un matériau qui a un amortissement très faible. On va donc assimiler les fréquences de résonnance expérimentales aux fréquences de résonnance de l'échantillon. On peut alors calculer notre fonction cout.
Dans le but de pouvoir vérifier nos résultats nous décidons de calculer une carte de la fonction coût sur tout un ensemble de valeur de C11 et C44, les deux composantes du tenseur élastique pour un matériau isotrope. Un exemple de minimisation est aussi présenté sur la figure suivante :
Dans cet exemple le point final se trouve exactement au niveau du minimum calculé grâce à la carte. Ce calcule a pris dix minutes en utilisant 2,5 Go de RAM et un processeur monocoeur de 2,4 GHz.
Lors de ces travaux nous avons donc mis en place toute une suite logicielle permettant la mise en place de la méthode RUS en utilisant la méthode des éléments finis pourle calcul numérique des fréquences propres de l'échantillon analysé, en générant automatiquement le maillage et implémentant cela dans un proccessus d'optimisation. Tout cela a donc été codé en Matlab.
Nous affirmons que cette méthode peut facilement être améliorée pour prendre en compte des matériaux anisotropes, simplement en augmentant le nombre de variable de la fonction à minimiser. Ces variables sont les composants du tenseur élastique.
Les résultats de ce projets sont synthétisés dans ces documents :
| Article (Type conférence) | Présentation |
Encadrement : Quentin GRIMAL. Laboratoire d'accueil : 